4.连通网格网络

在物理系统中，格点网格（lattice）是很好的渗流模型。以断裂的岩石为例，孔隙的位置是固定的，但它们之间的裂缝是随机形成的。现实世界中其他的网络甚至还要复杂得多，比如前面提到的网格网络，这一网络中顶点的位置会不断变化，而其中的边，或者说连接，只有在两部手机彼此足够接近（蓝牙通信的有效范围约为10米）的情况下才能形成。类似这样的网络中，顶点可以存在于连续空间中的任何地方。因此我们需要用另一种被称作连续渗流（continuum?percolation）的模型来描述它们。

像任何数学模型一样，这种网络模型仍然进行了一定程度的简化。作为通信节点的智能手机是随机分布的，它们的位置并没有模仿自然情况下行人自动产生的集群模式；两个节点仅根据它们之间的距离进行连接，没有考虑墙壁或其他干扰源。尽管如此，该模型还是凸显了渗流理论在真实世界的网格网络中的重要作用。

有两种方法可以增加这种连续渗流网络的连通程度：在更远的距离实现直接连接；或者增加节点数，即用户密度。这些变动都可以被理解成水管系统中那个控制表的旋钮，顺时针任意转动一下都会增加连通程度。在这些模型中，“存在一个开关，你可以‘咔嗒'一下就实现从局部到全面的连接。”雅内尔说。

对于网格网络应用程序的设计者来说，找到渗流阈值是一个非常实际的工程问题。想要调控这个网络中的旋钮，一种方式是改变设备的功率。网格网络公司goTenna的首席科学家拉姆·拉玛纳坦说：“关键问题是，为了保证网络连接，你应该如何设定传输功率？”如果功率和连通程度存在线性关系的话，答案就相当直观了——每一次小幅增加功率都会导致连通程度按一定比例增加。但是，渗透阈值的存在意味着，随着人们的移动而断开部分连接，网络有可能会突然失去连通性。因此最佳的功率是在不浪费能源的情况下，始终保证网络的连接性。

另一种拨动旋钮的方式是控制节点的密度。具有固定范围的网格网络需要一个用户密度的临界值，这种网络最有可能在音乐节、足球比赛等人员拥挤的活动中提供范围较广的连接。纽约布鲁克林的Red?Hook等社区正在使用网格网络，他们将永久性节点固定在建筑物的顶部，从而增强互联网接入。网络中许多必要的硬件和路由技术仍在发展中，但这并不妨碍我们对未来应用的一些大胆设想，比如在无须依赖任何额外基础设施的前提下，自动驾驶车辆可以利用网格网络直接进行通信交流，分享交通状况或道路障碍的信息。

　　5.传染病传播网络

我们用一些网络模型模拟石油在岩石中的流动或电话间的通信网络。事实上，这些网络模拟了这些系统的真实空间结构：如果两个顶点所代表的对象是相连的，就在网络中用一条边将它们连通。然而传染病的传播网络更加复杂，这是由于其连接关系是由某种病毒在人与人之间的传播方式决定的。一个在一家夜总会度过一小时的感染者可能在短短几天内就将病毒传向全国甚至整个大洲。

最简单的流行病学模型会将某一区域的人群简单地分为易感人群、感染人群和康复人群三类，但一般忽略了人与人之间的复杂联系结构。在这种模型中，感染者会将传染病随机传播给易感人群中的其他人，并且易感人群的每个人被感染的概率相同，例如宿舍中的学生与城市中的普通居民感染的可能性是一样的。易感人群的感染率取决于基本再生数，即单个感染者造成的新感染者的平均数量，我们将它记为R0。显然，如果R0大于1，则说明病毒正在传播；反之，如果R0小于1，则说明疫情正在消退。

但实际上，人与人之间的相互关系会影响传染病传播的整体趋势。例如，2003年暴发的严重急性呼吸综合征（SARS）最初的R0值在2.2到3.6之间，然而现任得克萨斯大学新冠肺炎建模联盟的负责人劳伦·安塞尔·迈耶斯在2006年的一篇文章中指出，“通过简单的计算不难看出”，SARS的病例数“比预期要低得多”。她认为，这种差异正是因为预测的时候会认为“所有易感人群被感染的概率相同”，而这一假设忽略了人群关系的复杂性。并且，上述估计的R0值是基于SARS病毒在公寓和医院中的迅速传播得出的。与普通人群相比，这两个地方的人“彼此密切接触的概率异常之高”。但由于SARS感染者通常很快就会出现严重的病情而前往医院，因此他们无法将SARS病毒传播给更多的人。

在传染病的传播网络中，连接顶点的边表示某种具体的传播关系，例如在一个显示艾滋病传播的网络中，两个人如果交换了体液，那么他们所代表的两个顶点之间就用一条边连接。新冠病毒的传播网络则有所不同：如果两个人紧密接触却没有呼吸防护，那么他们之间就用一条边相连。显然，诸如禁止商业活动和限制旅行之类的限制措施会改变新冠病毒传播网络中边的结构，同时戴口罩和保持社交距离等措施也是减少病毒在人群中，即点与点之间传播的方法。找到控制疫情传播的对策，或者说让这个传播网络断开的途径，正是流行病学家们面临的挑战。

文章来源：《应用数学学报》 网址: http://www.yysxxbzz.cn/zonghexinwen/2021/0513/714.html