非0即1：网络中的数学
作者：凯尔茜·休斯顿-爱德华兹〔Kelsey?Houston-Edwards〕（美国数学家兼记者，曾为美国在线节目“PBS无穷级数”撰稿并主持该节目）
一个表情包如何一夜间火遍全网？一种产品是怎样闪电般地占据了整个市场？一场疾病又为何会突然全球性暴发？这类问题的答案就藏在经典的数学分支——渗流理论中。
引言
当你按下“发送”时，你可能以为短信会直接从自己的手机传输到朋友的手机上。事实上，长途传送信息通常需要通过蜂窝网络或互联网完成，这两种网络都依赖于集中调度的基础设施，而这些设施可能会遭到自然灾害等因素的破坏。现在，有一些应用程序正试图帮助用户与临近的手机实现直接的信息传输。这些应用程序能让加密的信息悄悄地从一部手机传到另一部，从而将发信人和收信人连接起来。换言之，这些手机以网格网络（mesh?network）或自组织网络（ad?hoc?network）的连接方式实现了没有中心调度的灵活通信。在这样的网络中，任意两部手机进行通信时，都需要通过短距离内的相互连接来实现。那么，有一个问题出现了：在一个网格网络中，需要同城有多少人相连接，才能保证全城通信？
1.突然的巨变
一门名为渗流理论（percolation?theory）的数学分支给了我们出人意料的答案：只需几个人就能让一切变得不同。最早加入这个通信系统的用户会构成若干互不相连的小规模网络。然而一旦用户的密度（单位面积的用户数）超过一个关键的阈值，就会突然出现能够连接远距离用户的信息通道。科学家们将网络连接性的这种快速变化描述为相变（phase?transition），这一概念同样也能用来解释冰的融化或水的沸腾等物质状态的突然变化。
渗流理论能研究在这种网格结构中随机创建或删除连接产生的后果。数学家将网格结构设想为由边（也就是线）连接顶点所形成的网络——每个顶点代表一个对象，例如电话或人，而边则代表其中两个顶点之间的特定关系。渗流理论可以追溯到20世纪50年代，它的基本观点是：随着网络中连接数量的逐渐增加，将存在无穷多个点彼此间有路径相接，或者用数学的语言来讲，一个无穷大的连通簇（infinite?cluster）将会在一瞬间突然出现。
现在，科学家正在致力于回答：这样的相变何时会发生？对于任何一个给定的网络，如何找到相当于冰在0℃融化或是水在100℃沸腾的时刻？一个表情包如何一夜间火遍全网？一种产品是怎样闪电般地占据了整个市场？一场地震在何时降临？一个手机网络如何能在刹那间实现全面连接，或者一种疾病何时开始在全球蔓延？渗流理论能提供解答这类问题的理论基础。
数学家通常倾向于研究具有几何对称性的无限网络，因为这样便于进行理论计算。一般只有无限网络具有一瞬间发生的相变，术语称为骤然相变（sharp?phase?transition）。现实世界中的网络计算起来则难度较大，这些网络一般规模有限，且常常非常混乱。不过，这些网络也有相变，只是相变较为平滑。在当下的时代，各种复杂的连接使世界的联系更加紧密，例如为人们提供能源的电网，联系着人们的社交媒体，甚至是传染病的传播网络。因此，渗流理论也与我们愈加息息相关。
2.牵一发而动全身
1957年，英国数学家西蒙·拉尔夫·布罗德本特和约翰·迈克·哈默斯利首次将流体的滤过过程（例如油渗入多孔岩或者水渗过咖啡粉）抽象成名为渗流的纯数学问题：用一个网络来代表岩层，岩石结构中的孔隙表示为顶点，允许流体在其间流动的通道或裂缝表示为边。我们很容易想象，石油在裂缝较多的岩石中流动得更远。布罗德本特和哈默斯利通过渗流理论预测，在理想化的情形下，当裂缝的密度超过一定的阈值，石油将突然渗透到几乎整个岩层而不再仅限于一些小区域。
地质学家曾使用渗流理论的一个版本来研究有裂缝的岩石中岩团的大小，这些研究与水力压裂法开采石油以及理解地震发生的原理息息相关。为了建立地震模型，地震学家会创建与观测到的裂缝规模和密度相匹配的渗流网络，然后根据调整不同裂缝连接起来的概率来解释应力。随着应力增加，裂缝集群扩大，地震在倏忽之间不可预测地产生。研究者可以通过调整渗流过程的参数，使缝隙愈合或是再次裂开，以模拟余震或者更长期的变化。
文章来源：《应用数学学报》 网址: http://www.yysxxbzz.cn/zonghexinwen/2021/0513/714.html