渗流理论还可用于阐明更小规模的物理和化学过程。以聚合过程为例：在这个过程中，单体，也就是小而简单的分子结合在一起，形成更大的集群，称为聚合物。在渗流理论的框架中，每个单体可以作为一个节点，两个相邻的单体可能会自发地形成化学键，对应着网络中的一条边。如果它们连接的可能性不断增加，系统最终会达到渗流阈值，形成远比单体分子庞大的聚合物。这也是明胶粉溶于水能凝固形成果冻的原因。

岩石裂缝或构成聚合物的网络极其复杂。尽管我们几乎不可能精确描述它们的结构，但布罗德本特和哈默斯利表示可以将其近似地描述成一些更加易于分析的重复图样。最简单的例子是由一个个正方形组成的格点网格，它看起来就像一张无尽的图纸：网格中顶点依次排列，并由四条边连接到邻侧的点。

为了理解液体是如何穿过这个网格的，不妨将网格中的边想象成一条要么开放要么闭合的水管。所有水管都独立地以相同的概率开放或闭合。于是，所有或开或闭的水管将形成一个随机的网络，其中包含一些连通的区域（连通簇），所有的顶点都由一系列开放的水管连接。如果你往这种连通簇的任何一个节点中注水，那么水流就会通过那些开放的水管流到这个簇中的所有其他节点。

渗流理论关注的就是网络的连通性，即上述的连通簇究竟有多大。但“大”是一个模糊的概念，并不容易得到形式化的数学表述，因此数学家常常用无穷大来替代那些很大的数。那么，我们讨论的核心问题就变成了：是否存在一个无穷大的连通簇？德国魏尔斯特拉斯应用分析和随机过程研究所（WIAS）的数学家贝内迪克特·雅内尔说：“对我们来说，回答‘是否存在这种簇'比回答‘有多少这种簇'，或者‘这些簇有多大'要容易得多。”

事实上，一个无限大的网络中包含一个无穷大的连通簇（以下简称为“无穷簇”）的概率总是0或1，这是由于渗流过程会受到概率论中一个一般性理论的制约。该理论叫作零一律，由苏联数学家安德里·柯尔莫哥洛夫在20世纪30年代提出。

零一律告诉我们，有限的改变无法干扰本质上是无限的现象。所以，在无限大的网络中找到一个无穷簇的概率必须处于某个极端的位置——不是0就是1。这一概率不会产生更细微的改变，比如从0.81变为0.82。换句话说，一个无限大的网络要么一定有一个无穷簇，要么一定没有，非此即彼。因此，将有限条水管闭合或开放，对是否存在无穷簇没有任何影响。找到无穷簇的概率要么是0，要么是1。那么到底是哪一种呢？

　　3.找出阈值

答案取决于水管开放的概率。想象你有一个用于控制这个概率的表盘。当表盘的指针转到最左端时，代表概率为0，水管总会闭合。一旦所有的管道都被关闭，灌入某个节点的水不会往任何地方流，这时找到一个无穷簇的概率为0。当你顺时针转动指针，水管开放的概率会增加，开放管道的总数也越来越多。当指针转到最右端时，该概率为1，所有水管都开放，并且灌入某一个节点的水最终会流入所有其他节点，此时找到无限簇的概率为1。

如果你将指针缓慢地从关到开转动，管道打开的概率会逐渐增大，看起来找到无限簇的概率也会从0到1逐渐变化。但事实上，这一变化是瞬间发生的。零一律指出，该概率不会取0到1之间的值。对于正方形网格而言，存在无限簇的概率会在指针恰好处于正中央时突变，这时水管开放与闭合的概率相等。拨盘上这个关键的位置被称作渗流阈值。不论网络的形状是什么样的——例如三角网格或三维正方体网格——渗流理论的基本问题仍然相同：阈值在哪？管道开放的概率需要多大，才会有足够多的开放连接来保证无穷簇的存在？

答案取决于无限网格网络的精确形状，而要找到它并非易事。即使要证明几乎最简单的系统——正方形网格——的阈值是1/2也是一项令人望而却步的挑战。正方形网格的这个问题最终在1980年被数学家哈利·凯斯滕解决。现在，尽管经过了数十年的努力，但我们仅能在少数极其简单的网络上精确地计算渗流阈值。“仅仅是寻找阈值就耗费了大量的工作，”密歇根大学的统计物理学家罗伯特·齐夫说，“难以想象的是，人们已经研究了这么多不同种类的系统。”齐夫整理了一个维基百科页面，记录了数百种不同网络的渗流阈值。三角网格的阈值约等于0.347，这是一个经过精确计算得出的数字，但该页面上大量的数值（包括三维正方体网格的阈值）是通过计算机模拟而得到的近似解。

文章来源：《应用数学学报》 网址: http://www.yysxxbzz.cn/zonghexinwen/2021/0513/714.html