前几日有朋友问起一个问题：如果把一颗完美的圆铁球放在一块完美的平面上，球与平面的接触点是多大，它会是无限小吗？

平面上的铁球

这是个有趣的问题。从数学上讲，球体与平面相接触它就是一个点，点是一维的，表示无穷小。但实际上这不可能，因为无穷小的接触面积意味着压强无穷大。所以我们还是得从物理上来分析分析。

学过平面几何的朋友都知道，当一个圆与直线相切时，直线正好触及圆周上的一个点。圆周上任意一个点与其左右相邻的两个点都不处于同一条直线上。

但是当我们学到这个知识点时，你只能在头脑里“意会”圆与切线的关系，在纸上无论你怎么画，圆与直线相接触的都会是“一条线段”而不是一个点。

数学上的切线点需要“意会”

同样在数学上，一个球体与平面相接触，它们接触的也必然只是一个点，如果你认为那是一个面，说明你的想象力不够。

数学里许多最基础的东西都需要靠我们发挥想象，一维的“点”、“线”以及二维的“面”在现实世界中并不存在，至少在物理上你找不到绝对理想化的点线面，这些概念只是我们为了方便计算而创造出来。用笔在纸上戳一个点，或者画一条线段，老师会教我们说这是“点和线”，但你如果用放大镜观察它，便会发现那其实是一个墨迹留下的面；而要是将其放在显微镜下，你便能看到被染黑的纤维丛——它们既不是点线，也不是平面，而是“体”。

显微镜下铅笔在纸面画的线

在物理上，即便是最圆、最光滑、最完美的铁球，它依然是由一堆铁原子聚集在一起构成的物体。常温下，铁原子之间通过共价键形成一个个体心立方晶体，进而组合成铁。

用最先进的电子显微镜观察铁球，它的表面也不是光滑无暇，而是由铁原子核外围电子云簇拥着形成的一个个“球”。

铁球表面是紧密排列的原子

由此可见，我们认为“最完美”的铁球，在物理上也不完美，其表面并非我们想象的那么平滑，而是如同排列整齐的鸡蛋一般。

这些由原子“蛋”排列而成的表面无论接触到什么样的平面，它们的接触面必然不是一个“点”，而至少是“三个点”，因为数学老师告诉我们只有三个点才能构成一个稳定的面。

铁球真能以三个原子作为支撑点稳定放置在一个平面上吗？还是不行。因为当铁球与地面接触时，在引力的作用下，铁球与地面接触的地方会发生变形。

有朋友会说，铁很硬，我们用最硬的金刚石打造一个光滑平面，难道也会变形？当然会。

钻石表面是由晶胞构成的平面

金刚石由碳原子组成，在金刚石晶体中，每4个碳原子构成稳定的四面体晶胞。即使将钻石打磨得极其平整，物理结构决定了其表面也是如鸡蛋般交错排列的碳原子。

我们假设有一颗100克的铁球，它只有三个原子与“光滑”金刚石地面接触，计算一下接触点的压强。

铁原子的共价半径只有132pm【皮米，一万亿分之一米】，三个铁原子所构成的平面面积大约为3.48×10^(-20)平方米，一颗100克的铁球压力为0.98牛顿，作用在接触面的压强达到2.8×10^(19)Pa，约相当于2.78百万亿个大气压！

在如此巨大的压强下，铁球表面迅速变形，金刚石与铁球的接触面也会发生凹陷，于是二者的接触面积增大，直到压强与铁球自身的弹性模量（211GPa）平衡，这需要接触面数以十亿计的铁原子共同支撑才行！

铁球与地面接触时会发生弹性变形

现在你应该明白了：许多数学上常见的概念在现实中并不存在对应的物体；最完美的铁球也是由原子构成，它的表面不是绝对平滑；当将铁球放置在平坦表面，接触面的原子会因巨大的压强而移位，铁球变形，地面也会发生凹陷。于是球体与地面之间不再是一个点，而是一个由原子交错咬合形成的圆形区域。

文章来源：《应用数学学报》 网址: http://www.yysxxbzz.cn/zonghexinwen/2022/0316/1615.html