如图1所示，在平面直角坐标系xOy中，线性函数y=+5和y=-2x的图像在A点相交，反比例函数y=的图像通过点A。

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(1)求反比例函数的解析表达式；

(2)设置线性函数y的像= +5 与反比例函数 y = 在 B 点相交，连接到 OB，求 ??△AOB 的面积。

我们知道在直角坐标系中，一个点的坐标是这样定义的：假设A是平面直角坐标系上的一个点，x轴通过A点的垂线AM ，y轴的垂线AN，M和N为垂脚，那么x轴上M点的坐标m和N点y轴上的坐标n表示为(m,n) ，称为rec中A点的坐标正切坐标系，简称A点坐标，记为A(m,n)，垂线段AM=,AN＝。有了这样的理解，如果知道A、B、C三点在直角坐标系中的坐标，那么就不用死记硬背所谓的求ΔABC面积的公式了。应用 AM 和 AN 作为高线。 , ??△ABC 的面积可以按照“互补法”顺利求解。

多种解和对比

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如图1所示，(1)是从解中得到的坐标点 A 是 (-2, 4)。将(-2, 4)代入y=，得到a=-8。所以反比例函数表达式是 y=.

(2) 是从解左右 B(-8,1) 中得到的。在△ABO中，A、B、O点的坐标分别为A(-2, 4)、B(-8,1)、O(0,0)。

求面积??△ABO 如下。

笔者认为要求三角形的面积，一般来说，可以从以下三个角度考虑：首先，考虑这个三角形的面积是否成立。可以直接求得三角形，即是否可以直接求出三角形的一侧和这一边的高；其次，考虑原始三角形是否可以看作是几个容易求面积的三角形的和或差；第三，考虑将原来的三角形转换成其他容易找到的等面积形状来求解。其实这道题中的三角形可以补充其他形状，间接求出它的面积，但是一般来说，图补充的边数越多，图就越复杂，解也就越多难的。这里仅举几个例子来说明该方法。有兴趣的读者可以多做尝试。

方案一？如图2，直线AB：y=+5在点(0, 5)处与y轴相交，即y轴上的截距为5，所以OP=5，交叉点A和B分别是y轴的垂直线AC和BD，垂直脚是C和D。

图2

因为A点和B点的坐标分别是（ - 2, 4), (-8, 1)，所以 AC=2，BD=8。所以S△ABO=S△BOP-S△AOP==15。

图3

说明？解1从直线AB与y轴相交的条件出发，发现??△ABO的面积是??△BOP和△AOP的面积之差，△BOP和△AOP有一个公共边OP，OP很容易找到，长度为5。

解决方案2？与解1类似，如图3所示，直线AB：y=+5在x轴上的截距为-10，所以OQ=10。交叉点 A 和 B 分别是 x 轴的垂直线 AM 和 BN。垂直脚为M，NS△ABO=S△AOQS△BOQ=15。

说明？解2 从AB线与x轴相交的条件出发，将△ABO面积视为△AOQ和△BOQ面积之差，借助A、B的三点坐标求解, 和 Q. 解 2 与解 1 相比，需要先找到 Q 的坐标。计算量略有增加，难度也略有增加。

方案三？如图 4 所示，经过的点 A 和 B 是 x 轴的垂直轴。直线AM、BN、垂直脚为M、N。由模型可知：S△ABO=S梯形AMNB。所以S△ABO=(y1+y2)(x1-x2)=(1+4)［(-2) -(-8)]=×5×6=15。

图4< /p>

解释？实际上，在解3中，反比例函数y=解析公式是用来得到x·y=-8，所以=8，所以S△AOM=S△BON=4。去掉△POM的公共部分，S△AOP=S梯形BNMP，在标题中应用反比例函数图像及其特殊性质，切出△MOP补充成梯形BNMP。这个解算起来不难，但同学们也不容易想到。

解4？如图 5 所示，分别通过点 A 和 B 制作 y 轴和 x 轴的垂直线 AM 和 BN。垂直脚为M、N，AM和BN相交于Q点。这样，求??△ABO的面积就转化为矩形MONQ的面积减去三个三角形，即，减去△AOM、△BON 和△ABQ 的面积。

图5

说明？解3 和解法4采用典型的“截补法”，其中解3是将△ABO填充成梯形来求解问题，而解4是将△ABO填充成矩形来求解问题.应该说解题思路是比较Simple，但是计算量比解1和解2的增加了。

解5？如图6所示，由于B点(-8, 1)，所以直线BO：y=。

以A点为AN⊥x轴，垂直脚为N，与BO 在 C 点，则 yC=。所以S△ABO=AC·(xO-xB)==15。

图6

说明？实际如上，我们还可以将△ABO 拆分为两个边相同的三角形。如图6所示，如果我们将B点作为AN的垂线，则垂足为M。作为BP，x轴与P点垂直，OP=8。这样，原来的△ABO就分成了两个三角形△ABC和△AOC，公共边是AC。所以S△ABO=S△ABC+S△AOC==15。

解决方案6？如图7所示，因为B点的坐标是(-8, 1)。将 B 点作为 BC⊥y 轴与 C 点相交，并在 D 点与 AO 相交。将y=1代入y=-2x，解为x=。所以，所以BD=。所以S△ABO=×4=15。

文章来源：《应用数学学报》 网址: http://www.yysxxbzz.cn/zonghexinwen/2021/0722/1061.html