在欧几里得空间中，同一平面上的两条平行线永远不会相交。我们这些经历过九年义务教育的人应该都知道平行线的定义——即平面内两条不相交的直线。而当我们在纸上画一幅画时，我们可以清楚地看到，两条平行线不可能相交？

那么，我们能想象平行线相交的情况吗？在普通人眼里，这简直毫无意义。在 18 世纪，大多数数学家也有同样的想法。但在1826年的俄国，一位俄国数学家回到罗巴切夫斯基身边，在喀山做了一场极其诡异的演讲。

他在一次非常严肃的学术讨论会上提出了几个非常轰动的定理。首先，他提出所有的线都相交，包括平行线。二是三角形内角之和大于180度。听了这次学术会议的教授们满脸疑惑，完全违背常理。

当然，攻击、嘲笑、各种压力都是针对演讲者罗巴切夫斯基的。罗巴切夫斯基的一生充满了疑惑。在晚年，他甚至被剥夺了教授职位。那么他为什么要这样做呢？其实这和欧洲几何学的第五个公式有关。

欧几里得在他的《几何元素》中提出了几何学中不需要证明的五个基本公设，它们也是我们从小学到的五个公设。但是第五公设还没有被欧几里得证明。这就是著名的平行公里，为平行线不能相交的定理提供了理论保证。

所以在欧几里得之后，很多数学家试图用欧几里得的前四条公理来证明第五条公理的成立，但持续了两千多年。没有人能成功。因为一开始的所有几何学家，在论证的时候，都逃不过循环论证的逻辑错误。

只有罗巴切夫斯基为了避免这种循环论证，采用了归约化的方法来证明第五公设。首先假设第五公设是无效的，然后得出结论，这个第五公设不再有效，与其他四个公共职位相矛盾。为了证明这第五个公众是一个多余的公众。

但正是这种不同寻常的论证方法使黎曼发现了一个全新的几何系统。后来是非欧几何。最重要的是它证明了所有的线都相交。但事实上，那个时代的科学家显然不愿意打破长期存在的规则。

罗巴切夫斯基发表这番讲话后，一直生活在怀疑之中。他经历过打压、嘲笑、剥夺地位等。但他并没有放弃他的理论。他于 1856 年去世，但临终前仍躺在病床上，坚持向学生口述他的理论，并编写了《论几何》一书。

幸运的是，12 年后的 1868 年，一位 Bertrami 科学家发表了一篇关于非欧几何研究的解释性论文。说明欧式几何的曲面空间中存在非欧几何，说明欧式几何也成立。它变成了这种大家都认为很荒谬的非欧几何。

平行线是否相交？不同的理论有不同的答案。如果是欧几里得几何，答案是你不想交。如果是非欧几何领域，那么答案是相交。非欧几何现在广泛应用于导航和航空领域。是后来爱因斯坦创立相对论的数学工具，也是其理论基础。

文章来源：《应用数学学报》 网址: http://www.yysxxbzz.cn/zonghexinwen/2021/0714/1017.html