数学是科学吗(2)
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【摘 要】：2.1 第五公理的反例 亚历山大的欧几里得（Euclid，前325-前265）生活在托勒密时代的埃及，是第一个现代意义上的数学家，他写成了13卷《几何原本》，确立
2.1 第五公理的反例
亚历山大的欧几里得（Euclid，前325-前265）生活在托勒密时代的埃及，是第一个现代意义上的数学家，他写成了13卷《几何原本》，确立了沿用至今的数学公理体系。比如他给出了平面几何需要的全部五条公理，直到今天还是初中数学的启蒙根基：
从一点向另一点可以引一条直线。
任意线段能无限延伸成一条直线。
给定任意线段，以其中一个端点为圆心，以线段本身为半径，可以作一个圆。
所有直角都相等。
若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交
《雅典学堂》中欧几里得的题目：蓝色线段平行且GE=AH，则橙色线段相等——你做做看
其中前四条公理简洁直白，而且能够互相推演，唯独第五条实在繁琐，而且无论如何也看不出和前四条公理有什么关系，人们给这条公理改换了各种各样的表述方式，比如“三角形内角和是180°”、“同位角相等则两直线平行”、“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”，等等，还试图用前四条公理证明它，使五条公理成为一个融汇的整体。
第五公设的直接表述
然而事与愿违，经过长达两千多年时停时续的努力，数学家们不但没能证明第五公理，反而发现即便违背了第五公理，几何体系也能正常运行，只是这些新的几何体系看起来有些古怪，违反直觉。我们将这些“反例”的新体系称为“非欧几何”，其中最常用的是黎曼几何和罗氏几何。
黎曼几何建立在球面上，在这个世界里，直线是通过球心的平面在球面上截得的大圆，或者说球面上半径最大的圆。那么任意两条直线都会相交，不存在平行线；而且三角形的内角和大于180°。
三原色的线是直线，△ABC的内角和是270°；紫线不是直线。
罗氏几何建立在双曲抛物面上——这是一种两头翘两头垂的表面，所以又叫马鞍面，桶装薯片就是这个形状。这个世界比球面还要复杂一些，过直线外一点首先有两条直线与已知直线不断靠近但永不相交，犹如双曲线和双曲线的渐近线，通常定义为“平行”；两条渐近线之间还有无穷多条直线与已知直线渐行渐远永不靠近，常被称为“超平行”；三角形的内角和不但小于180°，当三角形不断增大时内角和还将趋近于0°。
红蓝线是黄线的平行线，无限渐近但不相交；紫线是黄线的超平行线，两端都渐去渐远
对此，一般人可能会感到万分困惑：这些彩色的线弯曲得如此厉害，怎么还能叫做直线呢？而这恰恰就是欧几里得疏漏的地方：他从来没有充分考虑过什么是“直线”，只是草率地将直线定义为一点向着两个相反方向移动形成的轨迹，但是只有当这个点所在的表面完全平坦时才会留下“笔直”的轨迹，而在弯曲的表面上就会随着曲率扭转。只是古往今来的数学家都只在平整的表面上写写算算，也就一直没有考虑过弯曲表面上的反例。
而对于今天的人来说，这些反例就容易理解得多。比如洲际航线常常要寻找最短的路径，如果面对的是平坦的地图，大多数人都会选择那条看起来笔直的黑线，但是换个地球仪观察，人们就会明白看起来非常弯曲的红线其实更短——红线是“最大圆”的一部分，是球面上真正的线段，“两点之间线段最短”在黎曼几何中仍然适用。
在地图上寻找纽约和马德里的最短航线
在球面上看，红线原来非常短——这就是大圆导航
但如果吹毛求疵一些，地球是上下略扁的椭球体，赤道和经线之外的直线都会绕着赤道编筐
再比如广义相对论将万有引力解释为质量引起的时空弯曲，也就意味我们所处的这个空间真的不够平——果然，光一边沿着直线传播，一边“绕”过了障碍物。我们甚至能将巨大质量的天体当作透镜，看到更加遥远的天体。
文章来源：《应用数学学报》 网址: http://www.yysxxbzz.cn/zonghexinwen/2021/0512/703.html