今天来总结一下不等式的证明方法。

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比较法

所谓比较法，就是通过两个实数a与b的差或商的符号（范围）确定a与b大小关系的方法，即通过

来确定a,b大小关系的方法。前者为作差法，后者为作商法。

但要注意作差法适用范围较广；作商法再用时注意符号问题，如果同为正的话是没有问题的，同为负的话记得改变不等式的符号。

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分析法和综合

这两个方法我们一般会一起使用。

分析法是从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题。

如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。

综合法是从已知或证明过的不等式出发，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式。

我们来看一个例题，已知

如果要用综合法或者分析法的话，对于过程上需要写明，即证，所以要证，也就是说，即等价于……一些转化的语句来过渡我们的题目。

当然这两个方法我们经常一起用，因为分析完条件，分析结论，两个一起分析做题速度更快一些呢。

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反证法

从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的。

这个方法其实是按照集合的补集理论来的，正难则反，但是要注意用反证法证明不等式时，必须将命题结论的反面的各种情形都要考虑到，不能少的。

反证法证明一个命题的思路及步骤：

1） 假定命题的结论不成立；

2） 进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾;

3） 由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的;

4） 肯定原来命题的结论是正确的。

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放缩法

在证明过程中,利用不等式的传递性,作适当的放大或缩小,证明有更好的不等式来代替原不等式。

放缩法的目的性强,必须恰到好处,。同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及，灵活性很大。

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数学归纳法

这个方法比较尴尬，容易的题目很好用，难的题目不好用，但是其实可以用。

它的基本思路是对于含有n(n∈N)的不等式，当n取第一个值时不等式成立，如果使不等式在n=k(n∈N)时成立的假设下，还能证明不等式在n=k+1时也成立，那么肯定这个不等式对n取第一个值以后的自然数都能成立。

比如下边这个例题，我们可以用数学归纳法，但是重点是放缩和转化求解，这也是难点，所以数学归纳法的尴尬就在这个位置了呢，对于这个方法只能说能用就用，不能用不要勉强。

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其他方法

对于其他的方法，有换元法，均值不等式法，求导法，不一一说明，因为这几个都很常见。

还有一个要重点说明一下就是柯西不等式，这个是大学才学的内容，但是有些压轴题目就是用这个不等式求解的，所以咱们介绍一下这个方法。

柯西不等式可以说是我们均值不等式的高级一些的形式，证明思路也是和我们的均值不等式差不太多，所以大家对于一些知识的来源要注重一下，因为这是我们创新的基础。

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文章来源：《应用数学学报》 网址: http://www.yysxxbzz.cn/zonghexinwen/2021/0430/651.html