说到音乐，大家马上跟钢琴、小提琴、交响乐等艺术联系在一起，通常人们认为音乐是高雅的、有趣的，蕴含了丰富的情感和想象。而谈到数学，让人想到的就是一个个数字、字母构成的的公式、符号，给人以抽象、枯燥的感觉，人们通常认为音乐和数学处在两条平行线上，互不相关，实际上并非如此。各种美妙悦耳的声音在自然界是一直存在的，只不过后来随着人类文明和科技的进步，各种美妙的声音谱写成曲，以五线谱等各种符号谱写出来，再由各种乐器弹奏出来，才有了凄美哀婉的《梁山伯和祝英台》、贝多芬宏伟而壮丽的命运交响曲。钢琴和五线谱的巧妙结合，将大自然中各种美妙的声响演奏出来。

数学公式和公理与其何其相似，千万年来，各种公理一直真实地存在于茫茫宇宙中，等待科学家来发现。数学家家将无数有意义的现象抽象和总结而成为公理和公式，如微积分历史发展的里程碑——牛顿-莱布尼茨公式、经典力学的支柱——牛顿第二定律，这些公式叙述极为简单，却可以描述自然界的各种现象，背后的意义极为深刻，就像老子说的“大道至简”。这些公式真实而不受时空的限制，有力地解释了各种现象，我们不能不赞叹自然结构的美妙！这是数千年来无数科学家智慧的结晶。

然而，音乐与数学不仅仅有这种自然美的相似之处，两者之间还有非常密切的联系。我们知道，声音是通过空气振动传输到我们耳朵里的，弹奏乐器时，乐器部件的振动引起了周围空气的流动，形成了声波，声波传播到我们的耳朵里，我们就听到了各种美妙的音乐。物理学中振荡所激励的波叫做正弦波，把正弦波在时间轴上展开，就得到正弦曲线。关于数学和音乐的关系，可以追溯到2500多年前，古希腊哲学家、数学家——毕达哥拉斯发现12个音律的数学关系，他认为宇宙是由声音和数字构成的。而德国哲学家、数学家——莱布尼茨认为音乐的出现虽然是直接的，但音乐的基础就是数学。而科学家爱因斯坦说的更加有趣：“我们这个世界可以由音乐组成也可以由数学组成。”音乐是以音符为基本符号，构建成乐谱，把自然界的各种声响用乐器传输出来。而数学是以数字为基本元素符号，把自然界各种客观规律用公式表达出来。说到数字，我们有必要提一下奇妙的斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89…… 这个整数列有这样的特点：任何相邻的三个数，其中前两个数之和等于第三个数。更为奇妙的是，数列项数越靠后，相邻的两个数中第一个数与第二个数的比值就越来越接近于黄金分割比0.618。众所周知，黄金分割比是美学中的重要标准之一，运用在建筑、绘画、摄影等各个方面。曾经有人分析过多部音乐作品，统计乐曲的节数，惊奇地发现，很多乐曲的高潮部分所在的节数，非常接近于黄金分割比这个神奇的数字，我们不禁要赞叹自然界的美妙、和谐、统一。验证了数学家莱布尼茨的名言“音乐是数学在灵魂中无意识的运算”。

数学在音乐律学中的作用也非常明显。律学主要是研究音乐与音律之间关系的一门学科，是通过数学方法进行运算和实践来发掘、完善和研究两者之间关系的。我国明代著名律学家朱载堉在总结前人乐律理论基础上，运用珠算进行开方运算，通过精密计算和实验，成功地发现十二平均律的等比数列规律。他讨论了等比数列，找到了计算等比数列的方法，并将其成功地应用于求解十二平均律。在十七世纪的欧洲，数学家发现平均律音阶的十二个音调分布在一条对数螺旋线上，对数螺旋线被数学家雅各布·伯努利称之为“神奇螺线”，在数学中有非常重要的地位，其优美的外形被广泛应用在装饰图案中。

除了律学与数学有明显的联系，还有很多奇妙的关系。现代生物学研究表明，人耳的敏感程度与声音频率大致呈指数关系。而我们惊奇地发现很多乐器的外形结构也呈现为指数曲线，比如三角钢琴的弦和管弦乐器的管，能弹出和谐乐声的乐器弦长都能表示成整数比，这样科学合理的设计就是为了呈现出更加美妙悦耳的声音。前面我们提到的正弦波，就单一的声音来说，可以由一个正弦函数来表示，也称为“简谐波”，音量与该函数的振幅有关，音调与该函数的频率有关，音色则与函数的形状有关。但是单一的声音元素发出来的声音显然单调乏味。人们发现，很多种元素融合在一起才能形成美妙动听的旋律，这就是“复合波”，是各种不同频率、振幅及相位元素叠加得到的。比如同时发出两个音的话，则波形更有规律，更好听。从数学上来说，就是两个正弦函数叠加的结果，新的周期变小，是比值的最小公倍数。乐器发出声音主要是弦的振动，也是引起空气流动而传入我们耳朵里的。弦的振动是18世纪经典的数学物理问题，当时顶尖的数学家如伯努利、欧拉和拉格朗日等都为解决这个问题做出了贡献，但最终还是由法国数学家傅里叶于1822年完美解决。傅里叶的发现将乐声的研究推向顶峰。每个声音都包含三个要素——音调、音高和音色，利用傅里叶的结论，可以按照这三个要素将声音区分开来，音调与曲线的频率有关，音高与强弱有关，音色与周期相关。傅里叶变换理论思想在于任何稳定信号都是由一些特定频率和振幅的纯正弦波构成，利用傅里叶变换挑出每一个频率和对应的振幅，忽略掉一些干扰的话，原始信号就可以被译为成对的真实数字呈现出来。更为奇妙的是，通过逆向的傅里叶变换，我们可以十分精确地再现出原始信号，现代的数字音乐正是按照该原理设计的。可以说，只要是以音程和音阶及其移位作为基本的音乐理论基础和创作素材的音乐作品，都是和数学思维紧密相关的。数学的新发现为现代乐器的设计和计算机合成音乐也做出了无可替代的贡献，很多乐器制造商通过对比发声的周期性图来进行改进和调试乐器产品。傅里叶变换几乎出现在所有存在波形的地方，每个音频片段，都可以通过傅里叶变换将音频波形分解为成分音符并且保存下来，代替存储原始波形。傅里叶变换还可以确定一首歌中每个音符所占的比例，哪些音符是一首歌的基本元素。在学习傅里叶级数和傅里叶变换时，大家只觉得运算过程枯燥无趣，真的难以想象这些抽象的表达式为我们听到美妙的音乐做出了如此大的贡献。

文章来源：《应用数学学报》 网址: http://www.yysxxbzz.cn/qikandaodu/2021/0726/1092.html